分数の環、体

抽象代数学において分数は、環に十分な逆元を追加することで新しい環を作り出す環の局所化 (localization of a ring) あるいは全商環 (total ring of fractions, total quotient ring) などの概念として一般に捉えることができる。分数（の）環あるいは商（の）環 (ring of quotients/fractions) というような言い方もあるが、商環 (quotient/factor ring) という言葉が剰余（類）環 (residue class ring) の別名としてよく用いられており、紛らわしい。

可換環 R の部分集合 S は、R の単位元 1 を含み、S の任意の2元 s, t についてそれらの積 st が再び S の元となる（乗法について閉じている）とき、S は R の積閉集合（multiplicatively closed set, multicative set; 乗法的集合）であるという。可換環 R とその積閉集合 S に対し、R × S における関係 ∼ を

で定めると、これは R × S における同値関係を与える。R × S をこの同値関係で割ったものを S−1R で表し、(r, s) の属する同値類を r/s などで表す。このとき、S−1R には、もとの環 R における演算と両立する和や積といった環としての演算が、すでに上で述べた規則に従って与えられる。

可換環 R に対して、R の零因子でない元の全体は積閉集合である。積閉集合 S をそのようなものとするとき、環 S−1R は R の全商環と呼ばれる。また、積閉集合 S が R の素イデアル I の補集合として与えられているときは、S−1R のかわりにしばしば RI と書いて R の I における局所化とよぶ。は。なお、R が整域ならば、このような同値関係は簡約できて

r1s2 − r2s1 = 0
によって与えられ、これによって得られる全商環は可換体の構造を持つ。これを分数（の）体 (field of fractions) あるいは商体 (quotient field)と呼ぶ。

全商環や商体といった構造はある種の普遍性を与えており、たとえば整域の商体はもとの整域を含む最小の体を与えることなどが確かめられる。

有理数体 Q は整域である有理整数環 Z の商体である。また、体 k 上の多項式環 k[x] の商体を k 上の有理函数環と呼び、k(x) で表す。k 上の形式冪級数環 k[[x]] の商体はローラン級数体 k((x)) である。

関連項目： 受験　家庭教師